•排列、组合、集合论•随机事件•事件间的关系与运算•频率与概率 第一章概率论的基本概念 §4等可能概型（古典概型） 第一章概率论的基本概念 等可能概型（古典概型） 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。
比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。
我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
第一章概率论的基本概念 设S={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，得 P{e1}P{e2}=P{en}. 又由于基本事件两两互不相容；所以 1P{S}P{e1}P{e2}P{en}, P{e}1,i i1,
2,,n. n 第一章概率论的基本概念 若事件A包含k个基本事件，即A={e1,e2,…ek}, 则有： P(A)kA包含的基本事件数.nS中基本事件总数 例1将一枚硬币抛掷三次。
设：事件A1为“恰有一次出现正面”，事件A2为“至少有一次出现正面”， 求P(A1),P(A2)。
第一章概率论的基本概念 解：样本空间 S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},n=
8，即S2中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。
A1为“恰有一次出现正面”， A1={HTT,THT,TTH}, k=
3，P(A)=k=3,1n8 第一章概率论的基本概念 事件A2为“至少有一次出现正面”， A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH} k=
7，P(A)=k2=
7,
2 2n8 另解:由于A={TTT},k=
1，P(A)=kA2=
1,
2 A2 2n8 P(A)=1P(A)=11=
7.
2 2 88 第一章概率论的基本概念 例一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。
从袋中取球两次，每次随机的取一只。
考虑两种取球方式：•放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。
•不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。
分别就上面两种方式求： 1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
第一章概率论的基本概念 解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设A=“取到的两只都是白球”，B=“取到的两只球颜色相同”，C=“取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取: P(A)420.444P(B)42220.556 62 62 P(C)1P(C)1220.88962 第一章概率论的基本概念 无放回抽取: C42P(A) C62 P(B)C42C22C62 P(C)1P(C)1C22C62 第一章概率论的基本概念 例将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。
解：将n只球放入N个盒子中去,共有 NNNNn种放法, 而每个盒子中至多放一只球,共有 N(N1)[N(n1)]ANn种放法, 故pN(N1)[N(n1)]ANn. Nn Nn 第一章概率论的基本概念 n个人生日问题：n202330405064100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997 第一章概率论的基本概念 例设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?
1）不放回抽样 解：在N件产品中抽取n件，取法共有CNn种， 又在D件次品中取k 件，所有可能的取法有
C kD 种， 在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有CNnkD种， 第一章概率论的基本概念 由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k 件次品的取法共有 CCknkDN
D 种， 于是所求的概率为：pCDkCNnkDCNn 此式即为超几何分布的概率公式。
第一章概率论的基本概念 2）有放回抽样 从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为Nn个，将每一排列看作基本事件，总数为Nn。
而在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有 CnkDk(ND)nk 于是所求的概率为： CnkDk(ND)nk kDkDnk P Nn Cn(N)(1N) 此式即为二项分布的概率公式。
第一章概率论的基本概念 例在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 解：设A为事件“取到的整数能被6整除”，B为“取到的整数能被8整除”，则所求的概率为： P(AB)P(AB)1P(AB),其中P(AB)P(A)P(B)P(AB). 由于3332000334,所以能被6整除的整数
6 为：6，12，18…1998共333个， 第一章概率论的基本概念 P(A)333,同理得:P(B)250,P(AB)83. 2000 2000 2000 其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}， AB为“既被6整除又被8整除”或“能被24整除” 于是所求的概率为： p1[P(A)P(B)P(AB)] 1333250831500
3. 2000 20004 第一章概率论的基本概念 例将15名新生随机地平均分配到3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。
问：
(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为：
C 515 
C 510 
C 55 15141312111098765432115!
, 5!
5!
5!
5!
5!
5!
第一章概率论的基本概念 例某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的。
问是否可以推断接待时间是有规定的？ 解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周
二、周四的概率为: 212/712=0.0000003，即千万分之
三。
第一章概率论的基本概念 “概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（实际推断原理）。
现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
第一章概率论的基本概念 §3条件概率 目录索引 一条件概率二乘法定理三全概率公式和贝叶斯公式 第一章概率论的基本概念 条件概率 设
A、B是某随机试验中的两个事件，且PA
0 则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率 ，简称为B在A之下的条件概率，记为PBA 第一章概率论的基本概念 24 第一章概率论的基本概念 条件概率的性质： 1非负性：对任意事件
B，有PBA0 2规范性：PSA1； 3可列可加性：如果随机事件B1，B2，，Bn，两两互不相容，则   PBnAPBnA n
1 n
1 概率的性质同样适用于条件概率 第一章概率论的基本概念 第一章概率论的基本概念 例已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率． 解：设A={3个小孩至少有一个女孩} B={3个小孩至少有一个男孩} PA1PA11
7 则 PAB
6 88
8 6 所以PBAPPAAB7876
8 返回主目录 第一章概率论的基本概念 两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式 PBAPPAAB 我们得 PABPAPBA 这就是两个事件的乘法公式． 第一章概率论的基本概念 多个事件的乘法公式 设A1，A2，，An为n个随机事件，且 PA1A2An1
0 则有 PA1 A2An   PAP
A 1
2 A
1 PA3 A1A2PAn A1A2An1 这就是n个事件的乘法公式． 第一章概率论的基本概念 第一章概率论的基本概念 例设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。
求透镜落下三次而未打破的概率。
解：以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，有： P(B)P(A1A2A3)P(A3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)(19)(17)(11)3.10102200 第一章概率论的基本概念 全概率公式和贝叶斯公式 定义设S为试验E的样本空间，A1,A2,An 为E的一组事件。
若满足
(1) AiAj=,ij,i,j1,
2,,n;
(2) A1A2An
S. 则称为A1,A2,An 样本空间S的一个划分。
A1A2…...An
S 第一章概率论的基本概念 全概率公式： 设随机事件满足： A1, A2,, A以及Bn  1 ．A1 , A2, , n 2．AiS i
1 A两两互不相容；n 3．PAi0i1,
2, n 则有 PBPAiPBAi i
1 第一章概率论的基本概念 全概率公式的证明 B=BA1BA2BAn BA1 A1 BA2 A2 …...BAn…...An
S 第一章概率论的基本概念 例某小组有20名射手，其中
一、二、
三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选
一、二、
三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解： 设B该小组在比赛中射中目标Ai选i级射手参加比赛i1，2，34 由全概率公式，有 第一章概率论的基本概念 
4 PBPAiPBAi i
1 20.8560.6490.4530.32 20 20 20 20 0.5275 第一章概率论的基本概念 Bayes公式 设随机事件A,
1  1 ．A1 , A2, , n 2．AiS i
1 3．PAi0i
1, 则 A2,, A以及Bn A两两互不相容；n
2,n P(A|B)P(AiB) i P(B) P(B|Ai)P(Ai),nj1P(B|Aj)P(Aj) 满足 j1,
2,,n 第一章概率论的基本概念 例对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为98%,而当机器发生某一故障时，其合格率为55%。
每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。
已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？ 机器调整得良好P(A|B)98%
B B 机器发生某一故障 产品合格
A P(A|B)55% 第一章概率论的基本概念 解： P(A|B)P(B) P(B|A) P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)  0.980.95 0.97. 0.980.950.550.05 第一章概率论的基本概念 例用某种方法普查肝癌，设：A={用此方法判断被检查者患有肝癌}，C={被检查者确实患有肝癌}， 已知 PAC0.95,PAC0.95 而且已知：PC0.0005 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率． 第一章概率论的基本概念 解：由已知，得 PAC0.95,PC0.9995 所以，由Bayes公式，得 PCA PCPAC PCPACPCPAC  0.00050.95 0.00050.950.99950.05 0.087 小结
一、等可能概型
二、条件概率
三、乘法定理
四、全概率公式和贝叶斯公式