（深圳市百合外国语学校１６０８班，广东深圳５１８０００） 中学生习作 　　１奥妙的“背后数字”问题最近有同学问我一道逻辑推理题：一个主 持人在甲、乙、丙三个人背后各贴上一个正整数，其中一个数等于另外两个数之和．他们每个人都能看到别人背后的数，但看不到自己背后的数，三人不能相互交流．这三个人都非常善于推理，而且不会撒谎．现在主持人按甲、乙、丙的顺序轮流问他们是否知道自己背后的数．第一轮，甲、乙、丙依次回答不知道；第二轮，甲、乙先后回答不知道，丙回答他背后的数 有一顶白帽子———展开推理．第一步　假设只有一顶白帽子．戴白帽子 的人（设为Ａ）发现自己周围的人全部戴着黑帽子，他就会推导自己戴着白帽子，所以他在第一次关灯时就应该鼓掌．由此我们推断：如果第一次关灯没有人鼓掌，就说明戴白帽子的人数大于１． 第二步　假设有两顶白帽子．这时Ａ发现了另一个戴白帽子的人（设为Ｂ），Ａ在第一次关灯时不能确定自己是否戴着白帽子，所以不 是１４４．请问甲、乙背后的数各是多少？我花了三天把“背后数字”问题彻底搞懂， 然后对同学说出了答案，他目瞪口呆．２“白帽子”问题与数学递推法在解决“背后数字”之前，我想先谈一谈我 在逻辑推理方面受到的启蒙．启蒙我的是一个简单而有趣的问题：有十几个人去参加聚会，主持人在他们每个人头上戴上一顶帽子，每顶帽子要么是白色，要么是黑色，并且至少有一顶白帽子．参加聚会的每一个人都可以看见别人头上帽子的颜色，但是不能看见自己头上帽 会鼓掌，Ｂ也是如此．从第一步结论可知戴白帽子的人数大于１．在Ａ的视野里只有Ｂ是戴着白帽子的，这时Ａ可以推导自己是戴着白帽子的；同理，Ｂ也会推导自己戴着白帽子．因此当只有两顶白帽子时，Ａ和Ｂ都会在第二次关灯时鼓掌．由此我们推断：如果第二次关灯没有人鼓掌，就说明戴白帽子的人数大于２． 第三步　假设有三顶白帽子．这时，Ａ和Ｂ发现了另一个戴白帽子的人（设为Ｃ），Ｃ也会看见Ａ和Ｂ戴着白帽子，Ａ、Ｂ、Ｃ三个人在第一次关灯时都无法确定自己是否戴着白帽 子的颜色．他们每个人都非常善于推理，但是他们之间不能交流．如果有人知道自己戴着白帽子，就在主持人关灯的时候鼓一下掌．第一次关灯时鸦雀无声，第二次关灯也是如此，直到第三次关灯才响起掌声．请问有多少人戴着白帽子？ 这个“白帽子”问题看似无法下手，但我们知道数学上有一个很重要的解题方法———“数学递推法”．我们不妨从最简单的情形———只 子，所以都不会鼓掌．这时，根据第一步的结论推断出至少有两个人戴着白帽子．再次开灯，在Ａ看来，可能只有Ｂ、Ｃ两个人戴着白帽子，因此他在第二次关灯时不会鼓掌；同理，Ｂ和Ｃ在第二次关灯时也不会鼓掌．这时，根据第二步的结论推断出戴白帽子的人数大于２．第三次开灯，因为在Ａ的视野里只有Ｂ和Ｃ是戴着白帽子的，所以Ａ这时明白自己是戴着白帽子的；同理，Ｂ、Ｃ这时也会明白自己戴 ·３７·网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱：ｚｘｓｓ２４８６＠１６３．ｃｏｍ 着白帽子．因此当有三个人戴着白帽子时，在第三次关灯时就会响起掌声． 至此，采用数学递推法，我们发现这样一个规律：有几个人戴着白帽子，就会在第几次关灯时响起掌声．同时，我们发现数学递推法是一种非常有用的逻辑推理方法：从最简单的情形开始分析，一步一步地把情形复杂化，在这个过程中提炼出一般性结论，最后得到符合题意的答案． ３“背后数字”问题的逻辑推理现在，让我们回到最初的“背后数字”问题．我们还是从最简单的情形———１＋１＝２（甲是１，乙是１，丙是２）入手．丙看见甲和乙背后是１，从“正整数”的前提条件可知，丙不会是０，就会明白自己是２．因此在第一轮末尾丙就会推导自己是２，即表１中记录的情形１．然后进一步讨论１＋２＝３（甲是１，乙是２，丙是３）的情形．丙看到甲和乙背后分别是１和２，他不知道自己是１还是３，所以我们要退一步，先看一看丙是１＝２－１（甲是１，乙是２，丙是１）的情形．若乙看见甲和丙是１，就会推导自己是２，即表１中记录的情形２，乙在第一轮就会推导自己是２．我们再回到丙是３（１＋２＝３）的情形．丙开始不知道自己是１还是３，但是他可以通过观察甲和乙的反应来推断自己的数．甲看到２和３，自己是１还是５呢？不得而知；乙看到１和３，不知道自己是２或４，也无法从甲的反应来舍弃其中一种情形；丙看到１和２，不知道自己是１还是３，但是乙在第一轮没有给出答案，所以丙推导自己不是１，只能是３．因此丙是在第一轮末尾知道自己是３，即表１中记录的情形３．到目前为止，似乎都是数字最大的人最先知道自己是多少．为了验证这个结论，现在我 们继续讨论１＋３＝４（甲是１，乙是３，丙是４）的情形．丙要想确认自己是４，就要推翻自己背后数字是２的情形．所以我们要退一步，先看一看１＝３－２（甲是１，乙是３，丙是２）的情形．这时，乙会在１或者是３之间徘徊．那么乙要先驳倒自己是１的假设，才能推导自己是３．如果自己是１，那么丙在第一轮末尾就应该得出自己是２的结论，实际上丙看到１和３，他不能确定自己是２还是４，所以乙就能在第二轮根据丙在第一轮的反应推导自己不是１，而是３，即表１中记录的情形４． 让我们再回到１＋３＝４的情形．这时乙看到的数字是１和４，他想要知道自己是３还是５，需要去推翻一个与事实不符的结论．然而要推翻这个结论，又必先分析这个情形在什么时候成立．当乙思考不决的时候，丙根据乙在第二轮的反应，驳倒自己是２的结论，从而在第二轮末尾推断自己是４，这种情形我们在表１中记录为情形５． 总结一下，之所以总是背后数字最大的人最先推导自己是多少，是因为数字较小的人要明白自己是多少，必先推翻两个相违背的结论中的一个，而不论是哪一个结论所在的情形，其复杂程度都大于数字最大者所处情形的复杂程度，所以数字较小者难以判定背后的数字，而数字最大者可以依据其他人的反应最先驳倒错误的结论，从而最先推导出自己背后的数字． 表１　不同情形结果记录 情形甲乙丙情形１　１　１　２情形２　１　２　１情形３　１　２　３情形４　１　３　２情形５　１　３　４ 谁在第几轮知道自己背后的数 丙 第一轮 乙 第一轮 丙 第一轮 乙 第二轮 丙 第二轮 　　进一步，如果所有人背后的数再乘以ｎ（ｎ是正整数），上述推理得出的结论（谁在第几轮 ·３８·网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱：ｚｘｓｓ２４８６＠１６３．ｃｏｍ 中学生习作 知道自己背后的数）依然成立．以１＋１＝２为例，我们可以把情形变为ｎ ＋ｎ＝２ｎ（甲是ｎ，乙是ｎ，丙是２ｎ）：丙看见甲是ｎ，乙是ｎ，又因为自己是正整数，所以在第一轮就推导自己是２ｎ，即表２中的情形１．以此类推，我们可以得到表２中的其他情形． 表２　“数字乘以ｎ”不同情形结果记录 情形甲乙丙情形１　ｎ　ｎ　２ｎ情形２　ｎ　２ｎ　ｎ情形３　ｎ　２ｎ　３ｎ情形４　ｎ　３ｎ　２ｎ情形５　ｎ　３ｎ　４ｎ 谁在第几轮知道自己背后的数 丙 第一轮 乙 第一轮 丙 第一轮 乙 第二轮 丙 第二轮 推导出自己是２，即表３中记录的情形３．由于甲在第一轮并未得出结论，所以乙可以根据甲的反应，在第一轮推导自己是３，即表３中记录的情形２． 让我们再回到２＋３＝５的情形．由于乙在第一轮不能推导自己是３，那么２＝３－１的情形就被驳倒，这时丙可以根据乙的反应，在第一轮末尾推导自己是５，即表３中记录的情形１． 表３　２＋３＝５的推理过程 情形甲乙丙情形１　２　３　５情形２　２　３　１情形３　２　１　１ 谁在第几轮知道自己背后的数 丙 第一轮 乙 第一轮 甲 第一轮 　　然后根据题意（丙在第二轮末尾知道自己背后的数），对照表２的情形５，我们可以得出：甲是３６，乙是１０８，丙是１４４的情形符合题意． ４“背后数字”问题的进一步推演问题探索到这里，只解决了一半．因为到目前为止，我们所讨论的都是最大数是最小数的整数倍的情形，我们还没有讨论最大数和最小数之间不存在倍数关系的情形，比如２＋３＝５（甲是２，乙是３，丙是５）．以２＋３＝５的情形为例，从刚才得出的结论可知：丙应该是最先知道自己是５的人．而丙要得到这个结论，需要先驳倒自己是１的情形．所以我们要退一步，先看一看２＝３－１（甲是２，乙是３，丙是１）的情形．这时，乙会思考自己是１还是３，如果是１，那么甲在第一轮就能 　　回到原题，由于丙是最先知道自己是１４４的，所以１４４应是三人背后数中最大的，并且是甲、乙背后数之和．我们用枚举法检验所有两数之和为１４４的情形：１＋１４３＝１４４、２＋１４２＝１４４、３＋１４１＝１４４……１４３＋１＝１４４．然后再从这１４３种情形中，用上面的方法进行推理，找出丙能够在第二轮推导出自己是１４４的情形． 目前题目已经解决了，符合题目要求的有且只有五种情形：３２＋１１２＝１４４、３６＋１０８＝１４４、５４＋９０＝１４４、６４＋８０＝１４４、１０８＋３６＝１４４．读者们如果不信，可以自己去验算一下，我个人是建议用表格来验算，因为表格更加具体、直观．至于我的同学为什么会目瞪口呆———因为他只算出了３６＋１０８＝１４４这一种解． （责审　李大永） 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 （上接第４１页） 通过以上四例，可以看出有些中考试题中 （３）ｌｏｇ３２＋ｌｏｇ３６－ｌｏｇ３４＝ｌｏｇ３ ２×６＝ ４ 蕴含的核心素养不止一个方面，从数学学科的核心素养看，初中的数学核心素养体现在十大 ｌｏｇ３３＝１．本题通过阅读材料，用到学过的知识去解 决新问题，培养了学生的阅读能力，以及用学过的知识去解决新问题的科学精神，同时锻炼学生的实践创新能力． 核心概念，即几何直观、空间观念、模型思想、 运算能力、数据分析观念、数感、符号意识、推 理能力、应用意识和创新意识等，都在目前的 中考中逐渐得以体现． （责审　曹付生） ·３９·网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ　　　　　　　　　　　　　　　　　邮箱：ｚｘｓｓ２４８６＠１６３．ｃｏｍ